Ecuaciones de Primer Grado

 Ecuaciones de Primer Grado 

Una ecuación de primer grado es una igualdad matemática con una o más incógnitas. Dichas incógnitas deben ser despejadas o resueltas para encontrar el valor numérico de la igualdad

Las ecuaciones de primer grado reciben este nombre porque sus variables (incógnitas) están elevadas a la primera potencia (X1), que suele representarse solo con una X.

Del mismo modo, el grado de la ecuación indica el número de soluciones posibles. Por lo tanto, una ecuación de primer grado (también llamada ecuación lineal) solo tiene una solución.

Ecuación de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones lineales con una incógnita, deben ejecutarse algunos pasos:

1. Agrupar los términos con X hacia el primer miembro y los que no llevan X al segundo miembro. Es importante recordar que cuando un término pasa al otro lado de la igualdad, su signo cambia (si es positivo pasa a ser negativo y viceversa).

2. Se realizan las operaciones respectivas en cada miembro de la ecuación. En este caso, corresponde una suma en uno de los miembros y una resta en el otro, lo que da como resultado:

3. Se despeja la X, pasando el término que tiene adelante al otro lado de la ecuación, con signo opuesto. En este caso, el término está multiplicando, así que ahora pasa a dividir.

4. Se resuelve la operación para conocer el valor de X.

Entonces, la resolución de la ecuación de primer grado quedaría de la siguiente manera:

Medidas de Tendencia Central

 Medidas de Tendencia Central

¿Qué es la media?

La media, también conocida como promedio, es el valor que se obtiene al dividir la suma de un conglomerado de números entre la cantidad de ellos.

Algunas características de la media son:

• Considera todas las puntuaciones
• El numerador de la fórmula es la cantidad de valores
• Cuando hay puntuaciones extremas, no tiene una representación exacta de la muestra

Cómo sacar la Media

Para obtener la Media de un conjunto solo tienes que seguir estos sencillos pasos:

1. Determina el conjunto de valores que buscas promediar.
2. Suma los valores para obtener el total
3. Haz el conteo de la cantidad de valores en el conjunto.
4. Divide la suma del conjunto entre la cantidad de números.

Ejemplo de Media

En una tienda mayorista se quiere calcular el promedio de ventas que realizaron los empleados durante el mes. Para calcular la media se realiza lo siguiente:

¿Qué es la mediana?

La mediana es un conjunto es un valor que se encuentra a la mitad de los otros valores, es decir, que al ordenar los número de menor a mayor, éste se encuentra justamente en medio entre los que están por arriba.

Algunas características de la media son:

• Las operaciones para calcular el valor son muy sencillas de realizar.
• La medida no depende de los valores de las variables, solamente de su orden.
• Generalmente, los valores son enteros.
• Se puede calcular aunque los números que se encuentren arriba y abajo no tengan límites.  

Como sacar la Mediana

Los pasos para sacar la mediana son:

1.  Ordena todos los números del más pequeño al más grande.
2.  Encuentra el número del medio del conjunto.

• • Si tienes una cantidad impar: Tacha el número al final de la izquierda, después el primero a la derecha, y repite el proceso hasta quedarte con un número, que será la mediana. 
  • Si tienes una cantidad par, al final quedarás con dos números en el centro. Súmalos y divídelos entre 2 para obtener la mediana.

Ejemplo de Mediana

• La cantidad de valores es impar

Si se tienen los valores: 9,5,4,2,7, se ordenan: 2, 4, 5, 7, 9. El elemento de en medio es el 5, ya que se encuentra dos valores por encima y dos valores por debajo.

• La cantidad de valores es par

Si se tienen los valores 9,5,4,2, se ordenan: 2,4,5,9. En este caso se toman los dos valores centrales 5 y 4, la mediana es el promedio de ambos: 9

¿Qué es la moda?

La moda es el valor que aparece más dentro de un conglomerado. En un grupo puede haber dos modas y se conoce como bimodal, y más de dos modas o multimodal cuando se repiten más de dos valores; se llama amodal cuando en un conglomerado no se repiten los valores.

Por último, se conoce como moda adyacente cuando dos valores continuos tienen la misma cantidad de repeticiones. En este caso se saca el promedio de ambos.

Las principales características de la moda son:

• Es una muestra muy clara
• Las operaciones para determinar el resultado son muy fáciles de elaborar
• Los valores que se presentan pueden ser cualitativos y cuantitativos.

Como sacar la Moda

Los pasos para obtener la moda de un conjunto son:

• Escribe todos los números del conjunto.
• Encuentra el número o los números (en los casos bimodales o multimodales) que aparezcan más veces.

Ejemplo de Moda

Números Enteros

 Números Enteros

Los números enteros son cualquier número que corresponda al conjunto de los números naturales más sus opuestos incluyendo el número cero (0).

En otras palabras, los números enteros son los números que empleamos para contar, incluyendo el cero (0), más todos los números opuestos.

Una vez introducidos los números naturales, el conjunto entero es el primer conjunto de números que incorpora números negativos.

Situación dentro de los números reales

Como los números naturales, racionales, irracionales y complejos, los números enteros también pertenecen a los números reales.

El siguiente esquema muestra su posición dentro de los números reales.

Representación

Los números enteros se representan mediante la letra Z,

Letra que representa a los números enteros

Conjunto de los números enteros

Para recordar los números enteros tenemos que pensar como si hubiera un espejo situado en el número cero (0). Tal y como se puede ver en el esquema anterior, los números naturales (marcados en color verde) se reflejan en el espejo y aparecen con signo negativo (marcados en color amarillo).

Entonces, es lógico que encontremos los números naturales (marcados en color verde) en el conjunto de los números enteros porque forman parte de este conjunto.

Características de los números enteros

A diferencia de los números racionales, los números enteros representan “enteramente” su valor. En otras palabras, los números enteros no serán nunca números con decimales, y del mismo modo, los números con decimales no serán nunca números enteros.

Diferenciar los números enteros de otros conjuntos, por ejemplo, el conjunto de los números irracionales, es más fácil pero, a veces, diferenciarlos de los números racionales o naturales resulta más difícil. Entonces, es importante recordar las principales características de cada conjunto para diferenciarlos correctamente.

De la misma forma que el conjunto de los números naturales, los números enteros también son un conjunto discreto.

Ejemplo de números enteros

Suponemos que el siguiente gráfico recoge las temperaturas redondeadas (números enteros) de cada mes. Entonces, en el eje de las abscisas (eje horizontal) se representan los meses y, por tanto, las columnas son cada mes que registremos datos sobre temperaturas.

La serie en el eje de las abscisas (eje horizontal) sería:

Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre y diciembre.
Las serie en el eje de las ordenadas (eje vertical) sería:

El eje empezaría con la temperatura mínima y terminaría con la temperatura máxima.

Las temperaturas redondeadas son números enteros porque podemos tener temperaturas por debajo de cero (0), cero (0) y por encima de cero (0). Entonces, las podemos englobar dentro de los números enteros:

Conjunto de los números enteros

También, con este ejemplo podemos ver qué es un conjunto discreto. Como estamos dividiendo el tiempo en mensualidades, entre mes y mes no existe observación. Es decir, tenemos la temperatura de enero y la temperatura de febrero pero no tenemos las temperaturas entre la noche de 31 de enero y 1 de febrero. Lo mismo para los otros meses.

Tal y como muestra la imagen, entre columnas hay un “vacío” y, precisamente, es este vacío el que determina el conjunto discreto. Si fuera un conjunto continuo, tendríamos tantas observaciones entre mes y mes (infinitas) que podríamos trazar una línea continua (sin espacios entre barras).

Máximo Común Divisor

 Máximo Común Divisor 

En matemáticas, se denomina máximo común divisor o MCD al mayor número que divide exactamente a dos o más números a la vez. Como hablamos del mayor número solo tendremos en cuenta los divisores positivos.

También podemos decir que el máximo común divisor de dos números “A” y “B”, es el número mayor que los divide a los dos, tanto al número A como al número B.

Por ejemplo diremos que el máximo común divisor de 18 y 24 es 6, porque 6 es el mayor de los divisores comunes de 18 y 24 y lo escribimos MCD (18,24) = 6

Se tienen en cuenta los números en los que las divisiones den de resto cero. Puedes repasar las divisiones por una cifra si lo prefieres para ayudarte a recordar las partes que componen una división.

Vídeo sobre el máximo común divisor

Para entender mejor qué es el MCD de dos números te invito a que veas el siguiente vídeo. Es uno de nuestros tutoriales interactivos convertido en vídeo, por lo que deja de ser interactivo.

Aún así tiene la gran ventaja de que se puede visualizar tantas veces como sea necesario y compartir. Si quieres acceder a los tutoriales interactivos de verdad, puedes hacerlo registrándote en Smartick, el método online de aprendizaje de matemáticas para niños de 4 a 14 años.

Descomposición de factores o descomposición en números primos.

Descomponemos cada número en factores primos.

Después, señalamos los factores comunes.

A continuación, en cada uno de los comunes, escogemos el factor con menor exponente.

Y por ultimo, multiplicamos los factores elegidos.

Vamos a ver un ejemplo:

Calculamos el M.C.D de 8 y 12.

Como ves, hemos señalado los factores comunes, en este caso es el 2, pero debes tener cuidado, tienes que fijarte siempre en el de menor exponente (2²), que es igual a 4. Además, si quieres puedes recordar cómo se hace la descomposición factorial y las potencias.

Vídeo para aprender a calcular el MCD a través de la descomposición en factores

En el siguiente vídeo puedes ver cómo Eva y Leo ayudan a las familias de su colegio que necesitan material escolar y libros utilizando el máximo común divisor.

Es uno de los tutoriales interactivos de Smartick convertido en vídeo. Si quieres acceder al tutorial interactivo y resolverlo tú mismo, puedes hacerlo registrándote en Smartick el método online de aprendizaje de matemáticas adaptado a tu nivel y ritmo.

Tipos de Triángulos Según sus Ángulos

Tipos de Triángulos Según sus Ángulos

Existen tres tipos de triángulos según sus ángulos que son:

Triángulo rectángulo:

Dos de sus lados forman un ángulo recto, o lo que es lo mismo, tiene un ángulo de 90º.

Triángulo acutángulo:

Todos sus ángulos son agudos, o lo que es lo mismo, todos sus ángulos miden menos de 90º.

Triángulo escaleno:

Dos de sus lados forman un ángulo obtuso, o lo que es lo mismo, tiene un ángulo de más de 90º.

Veamos con imágenes tipo a tipo.

Tipos de rectas que se pueden trazar en un triángulo y sus puntos.

Veamos ahora las rectas que se pueden trazar dentro de un triángulo. Estas rectas suelen concurrir todas en un punto y estos puntos, dependiendo de como sean reciben también cada uno un nombre.

Recta: Mediana – Punto: Baricentro

La mediana de un triángulo son las rectas que unen cada vértice con el centro de su lado opuesto.

El punto de intersección de las medianas recibe el nombre de baricentro. El baricentro es también el centro de equilibrio de un triángulo.

Recta: Mediatriz – Punto: Circuncentro

Las mediatrices son rectas perpendiculares a los puntos centrales de cada lado.

El punto de intersección de las mediatrices se conoce como circuncentro. El circuncentro coincide con el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Recta: Bisectriz – Punto: Incentro

Las bisectrices de un triángulo son rectas que dividen cada uno de sus ángulos en dos ángulos de la misma medida.

El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro. El incentro permite trazar una circunferencia inscrita en el triángulo que será tangente a todos los lados del triángulo.

Recta: Altura – Punto: Ortocentro

La altura es cada uno de los segmentos perpendiculares que van desde un vértice a su lado opuesto.

El punto donde las tres alturas de un triángulo se cortan se llama ortocentro.

Clasificación de los Triángulos

 Tipos de Triángulos: Clasificación según sus lados.

Vamos a estudiar qué es un triángulo y las diferentes formas de clasificarlo. Empezaremos diciendo que un triángulo es un polígono que tiene tres lados. También podemos definirlo como el área cerrada por tres rectas. Además de tener tres lados, un triángulo también tiene tres ángulos y tres vértices. Veamos qué es cada uno de ellos:

TRIÁNGULO:

Los triángulos son los polígonos más sencillos, pero son de gran ayuda para el estudio de las propiedades de otros polígonos más complejos, como por ejemplo, para estudiar sus áreas.

Lados: tiene tres y son las rectas que forman el polígono.

Vértices: tiene tres y son cada uno de los puntos donde se unen dos lados.

Ángulos: tiene tres y son las aberturas que se forman al unirse dos lados.

Habitualmente los lados de los triángulos suelen representarse con letras minúsculas de la «a» a la «c» mientras que los ángulos siguen la misma nomenclatura solo que en mayúsculas. La imagen siguiente te ayudará mejor a comprender esto:

Tipos de triángulos

Antes de empezar a ver los diferentes tipos de triángulos que hay debemos decir que éstos se clasifican según la medida de sus lados o la amplitud de sus ángulos. Un esquema de esto podría ser:

Tipos de triángulos

Clasificación de triángulos según lados:

Triángulo equilátero

Triángulo isósceles

Triángulo escaleno

Clasificación de triángulos según sus ángulos:

Triángulo rectángulo

Triángulo acutángulo

Triángulo obtusángulo

Veamos ahora uno por uno:

Tipos de triángulos según sus lados

Existen tres tipos de triángulos según sus lados que son:

Triángulo equilátero:

Tiene sus tres lados iguales, es decir, los tres lados son de la misma longitud.

Triángulo isósceles:

Tiene dos lados iguales (de igual longitud) y otro no.

Triángulo escaleno:

Tiene los tres lados diferentes, es decir, de distinta longitud.

Veamos con imágenes uno a uno.

Video explicativo de los tipos de triángulos según sus lados, espero y puedan visualizarlo para que puedan comprender más sobre el tema abordado.

Ley de los signos matemáticos, suma, resta, multiplicación y división

Ley de los signos matemática, suma, resta, multiplicación y división

Los signos de matemáticas conocidos como +, -, x y /, son símbolos aritméticos para indicar el estado de una operación matemática. Este tipo de operaciones son conocidas como la adición, sustracción, multiplicación y división.

Una fórmula para la ley de los signos.

(+) . (+)= (+) (el resultado de una operación dos números positivos es positivo)
(-) . (-)= (+) (el resultado de una operación número negativo y uno negativo es positivo)
(+) . (-)= (-) (el resultado de una operación número positivo y uno negativo es negativo)

(-) . (+)= (-) (el resultado de una operación número negativo y uno positivo es negativo)

Ley de los signos para suma

Para ello existen algunas reglas:

En suma de números positivos con números positivos, el resultado es un número positivo.
De ser una suma de un número negativo con otro número negativo, el resultado es negativo.
Si se trata de un número positivo con un número negativo el signo en el resultado es del número entero de mayor valor.

Nota: se debe tomar en cuenta que si un número no posee un signo evidente este se sobre entiende que es de signo positivo + y no es necesario escribirlo. En el caso de ser un resultado negativo, se necesita escribir el signo negativo.

Ejemplos:

4 + 8= 12

(-5) + (-6)= -11

-7 + 4= -3

Ley de los signos para resta

En este caso la ley aplica en el mismo sentido de la suma, poniéndose en práctica las mismas reglas.

(+6) – (+2)= +4

(-7) – (-4)= -3

Ley de los signos para multiplicación y división

Para estas operaciones también existen diversas normas muy parecidas a la suma

En el caso de multiplicar o dividir un signo positivo con otros positivo el resultado es positivo.

De multiplicar o dividir un signo negativo con otro negativo el resultado será positivo.

Por último si se multiplica o divide un signo negativo con uno positivo o viceversa siempre será negativos, sin tomar en cuenta el mayor valor del número.

(+6) ÷ (+4)= +1,5

(-8) ÷ (-4)= +2

(+4) ÷ (-2)= -2

Importancia de la ley de los signos

Como se mencionó anteriormente las matemáticas son realmente importantes como una herramienta para la evolución y creación de nuevos teoremas y más. En nuestra vida cotidiana se utilizan en un sinfín de situaciones como el administrar dinero, calcular distancias, y el razonamiento matemático.

Conocer con exactitud las matemáticas y aprender sus normas y leyes se trata de crear habilidades para resolver problemas importantes en la vida. Las matemáticas y todo lo que las relaciones como lo son sus leyes son relevantes para el desarrollo de un país, la innovación, vanguardia y exigencias económicas. El dominio de las matemáticas es una cuestión que tiene que ver con grandes aspectos de todo el mundo.